一阶微分边缘算子

一阶微分边缘算子也称为梯度边缘算子，它是利用图像在边缘处的阶跃性，即图像梯度在边缘取得极大值的特性进行边缘检测。梯度是

一个矢量，它具有方向θθ和模|ΔI||ΔI|：



ΔI=⎛⎝∂I∂x∂I∂y⎞⎠ΔI=(∂I∂x∂I∂y)



|ΔI|=(∂I∂x)2+(∂I∂y)2−−−−−−−−−−−−√=I2x+I2y−−−−−−√|ΔI|=(∂I∂x)2+(∂I∂y)2=Ix2+Iy2



θ=arctan(Iy/Ix)θ=arctan(Iy/Ix)

梯度的方向提供了边缘的趋势信息，因为梯度方向始终是垂直于边缘方向，梯度的模值大小提供了边缘的强度信息。

在实际使用中，通常利用有限差分进行梯度近似。对于上面的公式，我们有如下的近似：



∂I∂x=limh→0I(x+Δx,y)−I(x,y)Δx≈I(x+1,y)−I(x,y),(Δx=1)∂I∂x=limh→0I(x+Δx,y)−I(x,y)Δx≈I(x+1,y)−I(x,y),(Δx=1)



∂I∂y=limh→0I(x,y+Δxy)−I(x,y)Δy≈I(x,y+1)−I(x,y),(Δy=1)∂I∂y=limh→0I(x,y+Δxy)−I(x,y)Δy≈I(x,y+1)−I(x,y),(Δy=1)

一阶微分边缘算子